Prove 2019 dubbi esercizio 3

Sera, ho un dubbio nell’esercizio 3 delle prove del 2019:

Esercizio N° 3 – La risposta esatta vale 2 punti.
Dato il seguente insieme A = {1, 2, 3, 4, 7, 32, 89, 145, 106, 33, 36, 39}, qual è il numero di possibili coppie non ordinate di insiemi A1 e A2 tali che |A1| = |A2| (dove con |X| si intende il numero di elementi contenuti
nell’insieme X), A1 ∪ A2 = A, A1 ∩ A2 = Ø e somma(A1) = somma(A2) (dove somma(X) è la somma di tutti
gli elementi nell’insieme X)? Indicare quella corretta fra le seguenti:

Ho studiato le probabilità ma non l’ho capito totalmente l’esercizio. Potreste darmi una spiegazione?

Ripeto quello che chiede, siano dati due sottoinsiemi A1 e A2 dell’insieme A che abbiano le seguenti proprietà:

  1. Abbiano lo stesso numero di elementi (|A1|=|A2|)
  2. Se unisci i due sottoinsiemi ottieni l’insieme A, ossia la loro unione è A (A1 U A2 = A)
  3. Non abbia elementi comuni, ossia che l’intersezione sia nulla (A1 ∩ A2 = ∅)
  4. La somma degli elementi del primo sottoinsieme sia uguale alla somma degli elementi del secondo sottoinsime (somma(A1)=somma(A2))

Qua per prima cosa vedi se riesci a trovare qualche possibile soluzione di cui contare poi le combinazioni. Quindi da 2) e 3) sai che i due sottoinsiemi li trovi spezzando l’insieme A in due parti. Dalla 1) sai inoltre che devono essere entrambi metà dell’insieme A, e dalla condizione 4) vuoi che la loro somma sia uguale. Ora per sapere la somma che ogni sottoinsieme deve avere fai somma(A)/2, prova a riflettere perché. Però ora vedi qualcosa di estremamente sospetto, la somma dei numeri è dispari, fa 497(in gara non mi ricordo se hai la calcolatrice, ma comunque se conti i numeri dispari vedi che sono dispari, ma ti serve un numero pari di dispari affinché la somma sia pari) quindi anche senza fare la somma vedi che la somma di tutti i numeri è dispari.
A questo punto hai finito, siccome la somma è dispari in ogni modo che spezzi A avrai una sequenza con somma pari e una con somma dispari, e quindi non c’è nessuna combinazione che rispetta le condizioni date. (qua ci sono un po’ di soluzioni commentate se ti servono OII Selezione Scolastica - YouTube)

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Quindi la risposta è c? Cioè 0?

Esatto (devo mettere un po’ di caratteri sennò non fa inviare la risposta)

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